Cours d'analyse fonctionnelle et complexe : Pour les élèves ingénieurs et les étudiants des filières mathématiques de l'université

Le cours d'analyse d'une école d'ingénieurs est le socle conceptuel sur lequel reposent les autres enseignements mathématiques, constituant ensemble le cadre de modélisation des autres enseignements scientifiques. La rédaction de ce cours, tant dans son contenu que dans sa structure, est inspirée par le profil et les besoins en mathématiques de l'élève et du futur ingénieur. L'auteur a donc choisi d'exposer un cours d'analyse allégé des concepts et des résultats à faible plus-value théorique ou pratique. Adepte d'une pédagogie constructive et motivante, évitant autant que faire se peut l'inefficace linéarité de l'exposé déductif, l'auteur a semé le parcours du néophyte d'appels à l'intuition géométrique et d'applications aux sciences physiques, d'intermèdes historiques ou épistémologiques ainsi que de nombreux exercices et problèmes corrigés. Cet ouvrage n'est donc pas un traité, mais un livre compagnon qui convient à l'apprentissage de l'analyse par les étudiants de Licence et de Maîtrise des filières mathématiques et physiques. Il est composé de six chapitres : les quatre premiers sont dédiés à l'analyse fonctionnelle et harmonique, les deux autres exposent la théorie des fonctions holomorphes. Le premier chapitre est un exposé de la théorie ensembliste de la mesure et de l'intégration, qui se prolonge par la présentation des concepts-outils fondamentaux pour la modélisation des systèmes linéaires, que sont le produit de convolution et la transformation de Laplace. Après de nécessaires rappels de topologie métrique et de théorie des espaces vectoriels normés, le deuxième chapitre présente de façon détaillée la théorie des espaces hilbertiens et ses applications à l'approximation fonctionnelle dans les espaces L2. Le troisième chapitre concerne l'analyse et la synthèse harmonique des fonctions réelles en séries et transformées de Fourier. Le chapitre quatre est une introduction à la théorie des distributions, motivée et illustrée par la théorie du signal. La théorie des fonctions holomorphes et ses applications incontournables, transformation conforme, transformée en Z et calcul de résidus, fait l'objet des deux derniers chapitres.